Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Abstract: In this talk, I'll give a gentle introduction to both traditional and neural numerical methods for the simulation of partial differential equations (PDEs). On the one hand, traditional numerical methods (finite differences, finite elements, ...) have been successfully used for the last 50 years to obtain approximate solutions to PDEs. On the other hand, new methods based on neural networks (e.g. PINNs, Physics-Informed Neural Networks) have recently been introduced for the same purpose. While they are often (mistakenly!) seen as black-box solvers, I'll show that both (traditional and neural numerical) approaches can be defined as oblique projections on suitable function spaces. This unified framework offers a better way to compare their specific strengths and weaknesses. If time permits, I will also briefly conclude with some research directions undertaken in the MACARON team.

Bio: Victor Michel-Dansac is a permanent researcher (ISFP, INRIA Starting Faculty Position) in the project-team MACARON of the Inria Strasbourg research center, located at IRMA (Institut de Recherche Mathématique Avancée), in Strasbourg. His research areas encompass several topics, including scientific computing, the development of numerical methods, and, more recently, Scientific Machine Learning, enriching numerical schemes with techniques from machine learning.

Résumé : The bounded derived category of coherent sheaves on a smooth projective variety X is a sensible and somewhat subtle invariant of X. Its study is tightly related to rationality problems, MMP, Mirror Symmetry, Enumerative Geometry. Semiorthogonal decompositions (SODs) are a gadget allowing one to "decompose" this category into smaller pieces. Proving the very existence of SODs is often a delicate question. In this talk we shall explain how to construct a "moduli space of SODs" attached to a smooth proper morphism of schemes; we will also discuss its main properties, and how to use it to detect indecomposability of derived categories of some smooth projective varieties. Joint work with Pieter Belmans and Shinnosuke Okawa.

Résumé : The Gromov non-squeezing theorem is a famous result in symplectic geometry that illustrates the notion of symplectic rigidity. It states that, to symplectically embed a closed ball into a cylinder, the radius of the ball must be smaller than that of the cylinder. In this talk, I will present the proof for linear symplectomorphisms and explain why the Gromov non-squeezing theorem is surprising when compared to the linear case and the volume-preserving diffeomorphism case.

Résumé : The connection between music and number theory is ancient, but it continues to hold mysteries. Gene Ward Smith (1947–2021), an American mathematician who worked in the areas of Galois theory and Moonshine theory, and as well music theorist and composer, discovered a surprising fact that is still not completely understood. Large peaks in the absolute value of the Riemann zeta function on the line Re(z) = 1/2 correspond to good equal-tempered tuning systems! I will try to explain this, pointing out some issues that still need more work. More information on the mathematics of Tuning Systems at: https://johncarlosbaez.wordpress.com/2025/12/26/the-mathematics-of-tuning-systems/

Résumé : Cette thèse de doctorat en VAE (validation des acquis de l'expérience) développe des cadres catégoriels pour la formalisation des réseaux musicaux transformationnels en théorie musicale, et aborde les aspects computationnels pertinents pour leur mise en œuvre en informatique musicale.
Le paradigme transformationnel en théorie musicale est à la base du travail présenté dans cette thèse. Cette approche, introduite par David Lewin, met l’accent sur les relations entre objets musicaux plutôt que sur les propriétés intrinsèques de ces objets eux-mêmes.
Dans cette perspective, des éléments musicaux tels que les classes de hauteur, les accords, les durées et les structures rythmiques ne sont pas analysés principalement comme des entités isolées, mais selon la manière dont ils se rapportent les uns aux autres via des transformations issues de structures algébriques telles que les groupes et les semi-groupes. Les réseaux musicaux transformationnels, et les réseaux de Klumpenhouwer (K-Nets), sont des objets analytiques importants en théorie transformationnelle. Introduits à l’origine par Lewin, ces réseaux sont informellement décrits comme des graphes orientés dont les nœuds ou sommets représentent des éléments musicaux (classes de hauteur dans les K-Nets) et dont les flèches représentent des relations transformationnelles telles que des transpositions ou des inversions issues du groupe T/I des transpositions et inversions (isomorphe au groupe diédral d’ordre 24). Ces réseaux permettent aux analystes de visualiser et de comparer des structures partageant des schémas transformationnels communs, même lorsque leur matériau sonore semble très différent — un outil particulièrement puissant pour l’analyse de la musique post-tonale.
Les travaux existants sur les réseaux transformationnels montrent cependant une absence de définition pleinement formelle et générale, les comparaisons entre différents contextes pouvant poser problème en raison de variations dans l’usage et l’interprétation. L'argument principal de cette thèse est de montrer que le formalisme de la théorie des catégories est naturellement adapté à la définition mathématique des réseaux transformationnels. Nous développons cet argument au travers de trois axes :
- la théorie des PK-Nets, une généralisation catégorielle des réseaux transformationnels classiques au travers d’une construction catégorielle diagrammatique, qui permet d’encoder non
seulement les nœuds et les flèches sous-jacents, mais également les morphismes formels entre réseaux.
- l'étude des extensions de cette approche par la généralisation de cette construction diagrammatique. Par exemple, en utilisant la catégorie Rel (ou Rel(Q) avec Q une quantale) plutôt que Sets, nous pouvons étendre la théorie transformationnelle à l'utilisation de relations binaires entre éléments musicaux.
- l'exploration de cadres computationnels pour les réseaux transformationnels et relationnels. Nous présentons des algorithmes pour représenter et manipuler ces réseaux en Python, ainsi que le calcul de morphismes de réseaux. De nouvelles formalisations théoriques
sont également introduites, avec pour objectif principal une mise en œuvre informatique facilitée.

Les différents formalismes introduits dans cette thèse sont comparés et des perspectives — mathématiques, computationnelles et musicologiques — sont proposées pour de futures recherches.

Résumé : Résumé : Un des points de départ de la géométrie arithmétique d'aujourd'hui est le théorème de finitude de Mordell--Weil concernant les points rationnels des variétés abéliennes au-dessus d'un corps de nombres de degré fini. En particulier, ces variétés n'ont qu'un nombre fini de points rationnels d'ordre fini. Dans l'exposé j'expliquerai comment cet énoncé de finitude se généralise à certains groupes de cohomologie de torsion et, plus remarquablement, à certains corps de nombres de degré infini.